Всего лишь 4 камня

Купец поехал на рынок с товаром и весами (чашами, без стрелки и шкалы), а гири забыл. Взяв на время гири у другого торговца, он подобрал 4 камня, с помощью которых потом смог взвешивать от 1-го до 40-ка кг с точностью до 1-го кг. Какого веса были эти камни?
Ответ на загадку:
Про гири еще просто в качестве веса камней надо брать степень 3-ки.Так для нашего случая камни будут иметь вес 1 3 9 27 .Можете сами убедиться что этих камней достаточно чтобы измерить любой вес от 1 до 40. Например чтобы выложить вес в 14 кг на одну сторону весов ложим 27 а на другую 1 3 9. Получаем 27-13=14.
Я не случайно поставил в конце ответа многоточие, т.к. число «n» может быть любым целым положительным. Если взять ещё пятый камень весом
А(4)= 3^4= 81 кг, то можно взвешивать от1 до (1+3+9+27+81)= 121 -го кг, если взять шестой камень весом 3^5= 243 кг (только кто его поднимет? ;))) ), то взвесишь от1 до 364-х кг и т.д. до бесконечности!
Решал я, например (не знаю, как Паша, может и не так) таким способом:
Первый камень, ясно- 1, иначе 39 не взвесишь, второй- весом наиболее отдалённый от1 ( но чтобы не было «мёртвой зоны»), 4 уже не идёт, т.к. 2кг не взвесить. Т.е. 1+(1+1)=3____________________1+2=3
Следующий наиболее удалённый без мёртвой зоны- 9 (10 не идёт, т.к. 5 кг не взвесить)____Т.е. (1+3)+( (1+3)+1)=9____________4+5=9
Последний легко 40- (1+3+9)=27, опять без «мёртвой зоны»,
__________________ Т. к.(1+3+9)+( (1+3+9)+1)= 27____13+14=27
И…..только ТЕПЕРЬ замечаем закономерность!….У Ф….!
Я, опять- таки, не зря расписывал подробно в левом столбике свои вычисления.
Обратите внимание, что каждый последующий член ряда равен сумме предыдущих+ (сумме предыдущих+ единица),
ну или удвоенную сумму предыдущих+1)! И при этом является следующей степенью числа «3».
Уже после того, как я вспомнил и задал вам эту задачку,основанную на степенном ряде цифры 3, решил попробовать последовательности с другими основаниями (тут конечно взвешивание уже не причём) и обратил внимание к чему приводит анализ решения. К такой обобщённой формуле для любого основания (!) и степени (!) (записываю так, попроще, потому что знака суммы на клаве нет) :

N^x=(N^0+N^1+N^2+…+N^(x-1) )*(N-1)+1 ;
Примеры:
3^4=(3^0+3^1+3^2+3^3)*2+1=(1+3+9+27)*2+1=81 ;
5^4=(5^0+5^1+5^2+5^3)*4+1=(1+5+25+125)*4+1=625 ;
6^3=(6^0+6^1+6^2)*5+1=(1+6+36)*5+1=216;
2^6=(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)*1+1=64;…
(напоминаю, что знак «^» означает «в степени»)
Наверное, где-нибудь в курсе математики такое присутсвует и как-то доказано, но для меня это целое открытие! 😉