В доме отдыха

В доме отдыха «Подмосковье» проходил шахматный турнир по круговой системе (каждый участник играл с каждым). В конце третьего дня соревнований оказалось, что не сыграли всех своих партий 9 человек. Каждый из них на тот момент сыграл только по 11 партий. Среди закончивших соревнования было равное количество разрядников и не имевших спортивных разрядов.
Данные об этом были представлены главному судье соревнований. Взглянув на них, он сказал, что в отчетности допущена ошибка. Как он это определил?
Ответ на загадку:
Когда два человека играют в шахматы, то каждый из игроков играет одну игру, Но на двоих получается одна партия. Если назвать каждую партию, сыгранную одним человеком, «игра», то выходит, что при игре двух человек в одной партии в сумме получается две игры. Если всего принимало участие n человек, то должно было быть сыграно n(n—1) игр. Это число четное. Его можно представить в виде суммы:
n(n-1) = x + m + k
х число игр, сыгранных на турнире теми, кто уже закончил соревнования …..и;
m число сыгранных игр теми, кто еще не сыграл всех своих игр;
k число несыгранных игр.
Число людей, завершивших соревнования, четное, поэтому число сыграно ими игр четное.
Т.к как числа n(n—1) и х четные, то и число m + k четное.
По условию задачи m = 99 (количество игр, сыгранных теми, кто не закончил соревнования). Это число нечетное. Значит, и число k нечетное (чтобы m + k была четной).
Получается, что предстоит еще сыграть нечетное число игр. А как было сказано выше, такого не может быть, так как при любом количестве предстоящих партий количество игр будет в 2 раза больше.
Из сказанного видно, что в счетности по проведению соревнований была пропущена ошибка.