Нам нужны мальчики

Правитель некой страны из чисто военных соображений хотел бы, чтобы среди его подданных было больше мальчиков, чем девочек. Поэтому он повелел, чтобы ни в одной семье не было более одной девочки. В результате у каждой женщины этой страны среди детей последней — и только последней — была девочка, ибо ни одна женщина, родив девочку, не решалась больше иметь детей. Какую же долю составляли мальчики в общей массе детей этой страны?
Ответ на загадку:
Пусть N — число матерей, которые уже более не рожают. Сколько у них девочек? По одной у каждой, т. е. N. А сколько у них мальчиков? У половины из них вообще нет мальчиков, поскольку с вероятностью 1/2 первый родившийся ребенок будет девочкой.
У четвертой части матерей будет по одному мальчику, ибо 1/4=1/2-1/2 есть вероятность того, что первый ребенок будет мальчиком, а второй — девочкой. У восьмой части — по два мальчика (по сходной причине). У шестнадцатой части — по три мальчика, и т. д.
N/4*(1/2⁰ + 2/2¹ + 3/2²…..)
Но известно, что
1+2х + 3х²+… = 1/(1-x) ² *
ибо этот ряд представляет собой производную суммы геометрической прогрессии
1 + х + х²… = 1/(1-x)
Полагая в (*) х=1/2, находим
1/2⁰ + 2/2¹ + 3/2²….. = 1/(1-1/2) ²) = 4
Откуда следует, что число мальчиков равно N/4 * 4= N, т. е. равно числу девочек. Таким образом, доля мальчиков в общем числе детей составляет 1/2. Несмотря на королевский указ, она ничуть не возросла!